2. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. На его стороне BC взяли такую точку M, что AM = DM. Докажите, что отрезок OM равен половине стороны параллелограмма.

Условие в таком виде неверно: из него следует, что \(M\) — середина стороны \(BC\), а тогда \(OM\) равно половине стороны, параллельной \(BC\), то есть \(AD\), но не обязательно половине любой стороны параллелограмма.

Докажем точное утверждение. Пусть \(A=(0,0)\), \(B=\mathbf u\), \(D=\mathbf v\), тогда \(C=\mathbf u+\mathbf v\). Точка \(M\) на \(BC\) имеет вид \(M=\mathbf u+t\mathbf v\). Из \(AM=DM\) следует, что точка \(M\) равноудалена от \(A,D\), то есть лежит на серединном перпендикуляре к \(AD\). Равенство квадратов расстояний даёт

\[|\mathbf u+t\mathbf v|^2=|\mathbf u+(t-1)\mathbf v|^2,\]

откуда \(2t-1=0\), следовательно, \(t= frac12\), и \(M\) — середина \(BC\). Диагонали параллелограмма делятся пополам, поэтому \(O= frac12(\mathbf u+\mathbf v)\). Тогда

\[\overrightarrow{OM}=\left(\mathbf u+ frac12\mathbf v\right)- frac12(\mathbf u+\mathbf v)= frac12\mathbf u.\]

Значит, \(OM= frac12 AB= frac12 CD\). В частности, равенство половине стороны верно для сторон, параллельных \(AB\), а не для \(AD\). Например, в прямоугольнике со сторонами 3 и 4 получаем \(OM=1.5\), что не равно половине стороны длины 4.

Ответ: доказуемое заключение — \(OM= frac12 AB\) (и \(OM= frac12 CD\)); если подразумевалась другая сторона, условие требует уточнения.