1. Упростите выражение $$\frac{x-16}{x+x^{0.5}+1} : \frac{x^{0.5}+4}{x^{1.5}-1}$$ и найдите его значение при $$x = 2,25$$

Решение:

1. Упростим выражение:
   \(\frac{x-16}{x+x^{0.5}+1} : \frac{x^{0.5}+4}{x^{1.5}-1} = \frac{x-16}{x+x^{0.5}+1} \cdot \frac{x^{1.5}-1}{x^{0.5}+4}\)
   Заметим, что \(x-16 = (x^{0.5})^2 - 4^2 = (x^{0.5}-4)(x^{0.5}+4)\) и \(x^{1.5}-1 = (x^{0.5})^3 - 1^3 = (x^{0.5}-1)(x+x^{0.5}+1)\).
   Подставим это в выражение:
   \(= \frac{(x^{0.5}-4)(x^{0.5}+4)}{x+x^{0.5}+1} \cdot \frac{(x^{0.5}-1)(x+x^{0.5}+1)}{x^{0.5}+4}\)
   Сократим общие множители:
   \(= (x^{0.5}-4)(x^{0.5}-1)\)
   \(= x - x^{0.5} - 4x^{0.5} + 4\)
   \(= x - 5x^{0.5} + 4\)
2. Найдем значение выражения при \(x = 2.25\).
   \(x^{0.5} = \sqrt{2.25} = 1.5\)
   Подставим \(x = 2.25\) и \(x^{0.5} = 1.5\) в упрощенное выражение:
   \(2.25 - 5(1.5) + 4 = 2.25 - 7.5 + 4 = 6.25 - 7.5 = -1.25\)

Ответ: $$x - 5\sqrt{x} + 4$$; $$-1.25$$.