1. В параллелограмме ABCD биссектриса тупого угла ADC пересекает сторону BC в точке E. Угол DEC = 60°, BE = 3 см и CE = 4 см. Найти: а) углы параллелограмма; б) периметр параллелограмма; в) определить вид четырёхугольника ABED.

Решение.

1. Так как E лежит на BC, то BC = BE + CE = 3 + 4 = 7 см. В параллелограмме AD = BC, значит AD = 7 см.
2. Пусть ∠ADC = x. Поскольку DE — биссектриса, ∠CDE = x/2. В треугольнике DCE угол при C равен 180° − x, поскольку соседние углы параллелограмма supplementary, а угол DEC равен 60°. По сумме углов треугольника: x/2 + (180° − x) + 60° = 180°, откуда x = 120°.
3. Противоположные углы параллелограмма равны, а соседние в сумме дают 180°. Поэтому ∠B = ∠D = 120°, ∠A = ∠C = 60°.
4. Противоположные стороны параллелограмма равны, поэтому DC = AB. В треугольнике DCE углы при D и C равны по 60°, а угол E равен 60°, значит треугольник равносторонний и DC = CE = 4 см. Периметр равен 2(AD + DC) = 2(7 + 4) = 22 см.
5. В четырёхугольнике ABED стороны AD и BE лежат на параллельных прямых, следовательно, AD ∥ BE. Другая пара сторон не параллельна: например, треугольник DCE равносторонний, поэтому DE образует с DC угол 60°, тогда как AB ∥ DC. Значит, ABED — трапеция.

Ответ: а) ∠A = ∠C = 60°, ∠B = ∠D = 120°; б) 22 см; в) трапеция.