№1. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и ∠ACD = 21°. Найдите меньший угол диагоналей параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Обозначим через \(\theta\) угол между диагональю \(AC\) и стороной \(BC\). Так как \(AD\parallel BC\), угол между \(AC\) и \(AD\) тоже равен \(\theta\).

В треугольнике \(ACD\): \(\angle CAD=\theta\), \(\angle ACD=21^\circ\), поэтому \(\angle ADC=159^\circ-\theta\). По теореме синусов, учитывая \(AC=2AB\) и равенство противоположных сторон \(AB=CD\):

\(\dfrac{AC}{CD}=\dfrac{\sin(159^\circ-\theta)}{\sin\theta}=2\), откуда \(\sin(159^\circ-\theta)=2\sin\theta\).

Так как \(\sin(159^\circ-\theta)=\sin(21^\circ+\theta)\), получаем \(\sin(21^\circ+\theta)=2\sin\theta\). Раскрывая синус суммы:

\(\sin21^\circ\cos\theta= (2-\cos21^\circ)\sin\theta\), следовательно, \(\tan\theta=\dfrac{\sin21^\circ}{2-\cos21^\circ}\), откуда \(\theta\approx19.6^\circ\).

Угол между диагоналями равен \(\angle ACD+\theta=21^\circ+\theta\). Меньший угол: \(\approx40.6^\circ\).

Ответ: примерно 40,6°.