1. В параллелограмме ABCD диагональ АС в 2 раза больше стороны АВ и ∠ACD = 77°. Найдите меньший угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Обозначим сторону \( AB = x \). Тогда диагональ \( AC = 2x \).

В параллелограмме \( ABCD \) \( AB \parallel DC \) и \( AD \parallel BC \).

Так как \( AB \parallel DC \), то \( \angle ACD = \angle BAC = 77^\circ \) как накрест лежащие при параллельных прямых \( AB \) и \( DC \) и секущей \( AC \).

В треугольнике \( ABC \) имеем: \( AB = x \), \( AC = 2x \).

Пусть \( O \) — точка пересечения диагоналей. \( AO = OC = x \).

Рассмотрим \( △ AOB \). Стороны \( AO = x \) и \( AB = x \). Следовательно, \( △ AOB \) — равнобедренный.

Угол \( ∠ BAC = 77^\circ \).

В равнобедренном \( △ AOB \) \( ∠ AOB = 180^\circ - 2 ∠ BAC = 180^\circ - 2 ⋅ 77^\circ = 180^\circ - 154^\circ = 26^\circ \).

Угол \( ∠ BOC \) — смежный с \( ∠ AOB \), поэтому \( ∠ BOC = 180^\circ - 26^\circ = 154^\circ \).

Меньший угол между диагоналями — это \( ∠ AOB \).

Ответ: 26.