7. В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АА1 и СС1. Докажите, что углы СС1А1 и САА1 равны.

Решение:

Рассмотрим четырехугольник \( ACC_1A_1 \).

По определению высоты, \( AA_1 ⊥ BC \) и \( CC_1 ⊥ AB \).

Следовательно, \( ∠ AA_1C = 90^\circ \) и \( ∠ CC_1A = 90^\circ \).

Точки \( A_1 \) и \( C_1 \) лежат на сторонах \( BC \) и \( AB \) соответственно.

В четырехугольнике \( ACC_1A_1 \) углы \( ∠ AA_1C \) и \( ∠ CC_1A \) являются прямыми.

Сумма углов \( ∠ AA_1C + ∠ CC_1A = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \).

Если в четырехугольнике сумма двух противоположных углов равна \( 180^\circ \), то этот четырехугольник является вписанным в окружность.

Значит, четырехугольник \( ACC_1A_1 \) вписан в окружность. Центр этой окружности лежит на середине отрезка \( AC \) (так как \( AC \) является диаметром окружности, опирающимся на прямые углы \( AA_1C \) и \( CC_1A \)).

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Угол \( ∠ CC_1A_1 \) и угол \( ∠ CAA_1 \) опираются на дугу \( CA_1 \).

Угол \( ∠ ACC_1 \) и угол \( ∠ AA_1C_1 \) опираются на дугу \( AC_1 \).

Нас интересуют углы \( ∠ CC_1A_1 \) и \( ∠ CAA_1 \).

Вписанные углы \( ∠ CCA_1 \) и \( ∠ A A_1 C_1 \) опираются на дугу \( CA_1 \).

Вписанные углы \( ∠ CAA_1 \) и \( ∠ C_1CA \) опираются на дугу \( CA_1 \).

Правильно: Угол \( ∠ CA A_1 \) и \( ∠ C C_1 A_1 \) опираются на одну дугу \( CA_1 \) окружности, проходящей через точки \( A, C, C_1, A_1 \).

Следовательно, \( ∠ CAA_1 = ∠ CC_1A_1 \).

Доказано.