1. В параллелограмме ABCD диагональ BD = 6 см и образует со сторонами AD и DC углы по 60°. Найти: а) углы параллелограмма; б) периметр параллелограмма; в) определить вид четырёхугольника ABMD, где точка M — середина DC.

Так как в параллелограмме AD ∥ BC, угол между BD и BC равен углу между BD и AD, то есть 60°. По условию угол между BD и DC тоже равен 60°.

В треугольнике BCD два угла равны 60°, поэтому третий угол также равен 60°. Треугольник BCD равносторонний, следовательно, BC = CD = BD = 6 см. В параллелограмме противоположные стороны равны, значит AD = BC = 6 см и AB = CD = 6 см.

а) Соседние стороны параллелограмма равны, поэтому ABCD — ромб. Его углы: ∠C = ∠A = 60°, ∠B = ∠D = 120°.

б) Периметр: P = 4 · 6 = 24 см.

в) M — середина DC, поэтому DM = 3 см. AB ∥ DC, следовательно, AB ∥ DM. При этом другие стороны ABMD не параллельны: например, при координатах D = (0; 0), C = (6; 0), B = (3; 3√3), A = (−3; 3√3), M = (3; 0) стороны BM и AD не параллельны. Значит, ABMD — трапеция.

Ответ: а) 60°, 120°, 60°, 120°; б) 24 см; в) трапеция.