1. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 4 см, а длина диагонали основания равна 6√2 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Решение:

Дано:
Правильная четырехугольная пирамида.
Высота \( h = 4 \) см.
Диагональ основания \( d = 6\sqrt{2} \) см.

Найти: Площадь полной поверхности \( S_{полн} \).

1. Найдем сторону основания \( a \). Диагональ квадрата \( d = a\sqrt{2} \). Отсюда \( a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 6 \) см.
2. Найдем апофему \( l \) (высоту боковой грани). Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, половиной диагонали основания и апофемой. Половина диагонали равна \( \frac{d}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \) см. По теореме Пифагора: \( l^2 = h^2 + (\frac{d}{2})^2 = 4^2 + (3\sqrt{2})^2 = 16 + 18 = 34 \). Значит, \( l = \sqrt{34} \) см.
3. Найдем площадь боковой поверхности \( S_{бок} \). Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему: \( S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot l \). Периметр основания \( P = 4a = 4 \cdot 6 = 24 \) см. \( S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot \sqrt{34} = 12\sqrt{34} \) см².
4. Найдем площадь основания \( S_{осн} \). Основанием является квадрат со стороной \( a=6 \) см. \( S_{осн} = a^2 = 6^2 = 36 \) см².
5. Найдем площадь полной поверхности \( S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 36 + 12\sqrt{34} \) см².

Ответ: \( 36 + 12\sqrt{34} \) см².