2. В пирамиде МАВС боковое ребро МА перпендикулярно плоскости основания АВС, а грань МВС составляет с ним угол 60°, AB = AC = 10, BC = 16. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение:

Дано:
Пирамида МАВС.
\( MA \perp \text{плоскости } ABC \).
Угол наклона грани МВС к основанию \( \angle = 60^\circ \).
\( AB = 10 \), \( AC = 10 \), \( BC = 16 \).

Найти: Площадь боковой поверхности \( S_{бок} \).

1. Найдем площадь основания \( S_{ABC} \).
   Так как \( AB = AC = 10 \), \( \triangle ABC \) — равнобедренный. Проведем высоту \( AH \) к основанию \( BC \). В равнобедренном треугольнике высота является и медианой, поэтому \( BH = HC = \frac{BC}{2} = \frac{16}{2} = 8 \) см.
   В прямоугольном \( \triangle AHC \):
   \( AH^2 = AC^2 - HC^2 = 10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36 \).
   \( AH = \sqrt{36} = 6 \) см.
   Площадь основания \( S_{ABC} = \frac{1}{2} · BC · AH = \frac{1}{2} · 16 · 6 = 48 \) см².
2. Найдем высоту пирамиды \( MA \).
   Угол между гранью \( MBC \) и плоскостью основания \( ABC \) — это угол между прямой \( MH \) (где \( H \) — точка на \( BC \) такая, что \( MH \perp BC \)) и прямой \( AH \). Поскольку \( MA \perp \text{плоскости } ABC \), то \( MA \perp AH \) и \( MA \perp MH \).
   В \( \triangle ABC \) проведем высоту \( AH \). \( AH = 6 \) см. Угол между гранью \( MBC \) и плоскостью основания \( ABC \) равен углу \( \angle MHA = 60^\circ \).
   В прямоугольном \( \triangle MHA \):
   \( MA = AH · \tan(60^\circ) = 6 \u00B7 \sqrt{3} = 6\sqrt{3} \) см.
3. Найдем площадь боковых граней.
   Грань MAB: \( \triangle MAB \) — прямоугольный (так как \( MA \perp \text{плоскости } ABC \), то \( MA \perp AB \)).
   \( S_{MAB} = \frac{1}{2} · MA · AB = \frac{1}{2} · 6\sqrt{3} · 10 = 30\sqrt{3} \) см².
   Грань MAC: \( \triangle MAC \) — прямоугольный (так как \( MA \perp AC \)).
   \( S_{MAC} = \frac{1}{2} · MA · AC = \frac{1}{2} · 6\sqrt{3} · 10 = 30\sqrt{3} \) см².
   Грань MBC: Основание \( BC = 16 \). Высота грани — апофема \( MH \).
   Найдем \( MH \). В \( \triangle MHA \), \( MH = \frac{AH}{\cos(60^\circ)} = \frac{6}{1/2} = 12 \) см.
   \( S_{MBC} = \frac{1}{2} · BC · MH = \frac{1}{2} · 16 · 12 = 96 \) см².
4. Площадь боковой поверхности:
   \( S_{бок} = S_{MAB} + S_{MAC} + S_{MBC} = 30\sqrt{3} + 30\sqrt{3} + 96 = 96 + 60\sqrt{3} \) см².

Ответ: \( 96 + 60\sqrt{3} \) см².