№1. В прямом параллелепипеде стороны основания 4 см и 3 см образуют угол . Боковая поверхность равна 20 см^2. Найдите его объем.

Решение:

Для нахождения объема параллелепипеда нужно знать площадь основания и высоту. В данном случае, площадь основания не дана напрямую, а только длины сторон (4 см и 3 см) и угол между ними. Формула площади параллелограмма: \( S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha) \).

Боковая поверхность параллелепипеда равна произведению периметра основания на высоту: \( S_{бок} = P_{осн} \cdot h \).

Периметр основания \( P_{осн} = 2 \cdot (4 + 3) = 14 \) см.

Из условия \( S_{бок} = 20 \) см$$^2$$.

\( 14 \cdot h = 20 \) \( \Rightarrow \) \( h = \frac{20}{14} = \frac{10}{7} \) см.

Площадь основания \( S_{осн} = 4 \cdot 3 \cdot \sin(\alpha) = 12 \sin(\alpha) \) см$$^2$$.

Объем параллелепипеда \( V = S_{осн} \cdot h = 12 \sin(\alpha) \cdot \frac{10}{7} = \frac{120 \sin(\alpha)}{7} \) см$$^3$$.

Примечание: В задании не указан угол между сторонами основания. Если предполагается, что угол прямой (прямоугольник в основании), то \( \sin(\alpha) = \sin(90^{\circ}) = 1 \).

Если основание — прямоугольник, то \( S_{осн} = 4 \cdot 3 = 12 \) см$$^2$$.

Тогда объем \( V = 12 \cdot \frac{10}{7} = \frac{120}{7} \) см$$^3$$.

Ответ: \( \frac{120 \sin(\alpha)}{7} \) см$$^3$$ (или \( \frac{120}{7} \) см$$^3$$, если основание — прямоугольник).