№ 3. Основание пирамиды – прямоугольник со сторонами 12 м и 10 м, все боковые ребра равны 13 м. Найдите объем пирамиды.

Решение:

1. Объем пирамиды вычисляется по формуле: \( V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h \).
2. Площадь основания пирамиды: \( S_{осн} = a \cdot b = 12 \text{ м} \cdot 10 \text{ м} = 120 \text{ м}^2 \).
3. Для нахождения высоты пирамиды, рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром, высотой пирамиды и радиусом окружности, описанной около основания.
4. Найдем диагональ основания: \( d = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{12^2 + 10^2} = \sqrt{144 + 100} = \sqrt{244} \text{ м} \).
5. Радиус описанной окружности равен половине диагонали: \( r = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{244}}{2} = \sqrt{\frac{244}{4}} = \sqrt{61} \text{ м} \).
6. Теперь найдем высоту пирамиды, используя теорему Пифагора: \( h = \sqrt{l^2 - r^2} \), где \( l \) — длина бокового ребра.
7. \( h = \sqrt{13^2 - (\sqrt{61})^2} = \sqrt{169 - 61} = \sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3} \text{ м} \).
8. Найдем объем пирамиды: \( V = \frac{1}{3} \cdot 120 \text{ м}^2 \cdot 6\sqrt{3} \text{ м} = 40 \cdot 6\sqrt{3} \text{ м}^3 = 240\sqrt{3} \text{ м}^3 \).

Ответ: \(240\sqrt{3}\) м³.