1. В прямоугольном треугольнике АВС катет АС = 25, а высота СН, опущенная на гипотенузу, равна 10√6. Найдите sin ∠ABC.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC, AC = 25, высота CH = $$10\sqrt{6}$$.

Площадь треугольника можно вычислить двумя способами:

1. Через катет и синус угла: $$S = \frac{1}{2} \times AB \times AC \times \sin(\angle BAC)$$.
2. Через гипотенузу и высоту: $$S = \frac{1}{2} \times AB \times CH$$.

Поскольку $$CH$$ — высота, то $$CH = AC \times \sin(\angle BAC)$$.

Подставим известные значения:

$$10\sqrt{6} = 25 \times \sin(\angle BAC)$$

Отсюда $$\sin(\angle BAC) = \frac{10\sqrt{6}}{25} = \frac{2\sqrt{6}}{5}$$.

В прямоугольном треугольнике ABC, $$\angle C = 90^\circ$$. Углы A и B — острые.

Мы знаем, что $$\sin(\angle ABC) = \frac{AC}{AB}$$.

Также $$\sin(\angle BAC) = \frac{BC}{AB}$$ и $$\cos(\angle BAC) = \frac{AC}{AB}$$.

Известно, что $$\sin(\angle ABC) = \cos(\angle BAC)$$.

Мы нашли $$\sin(\angle BAC) = \frac{2\sqrt{6}}{5}$$.

Чтобы найти $$\cos(\angle BAC)$$, используем основное тригонометрическое тождество: $$\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$$.

$$\cos^2(\angle BAC) = 1 - \sin^2(\angle BAC) = 1 - (\frac{2\sqrt{6}}{5})^2 = 1 - \frac{4 \times 6}{25} = 1 - \frac{24}{25} = \frac{1}{25}$$.

Так как $$\angle BAC$$ — острый угол в прямоугольном треугольнике, то $$\cos(\angle BAC) > 0$$. Следовательно, $$\cos(\angle BAC) = \sqrt{\frac{1}{25}} = \frac{1}{5}$$.

Так как $$\sin(\angle ABC) = \cos(\angle BAC)$$, то $$\sin(\angle ABC) = \frac{1}{5}$$.

Ответ: $$\frac{1}{5}$$