1. В прямоугольном треугольнике АВС катет АС = 80, а высота СН, опущенная на гипотенузу, равна 8√91. Найдите sin ∠ABC.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC высота CH, опущенная на гипотенузу AB, делит его на два подобных треугольника: ACH и CBH. Также оба эти треугольника подобны исходному треугольнику ABC.

Рассмотрим подобие треугольников ABC и ACH:

\[ \frac{AC}{AB} = \frac{CH}{BC} = \frac{AH}{AC} \]

Нас интересует sin ∠ABC. В прямоугольном треугольнике ABC:

\[ \sin \angle ABC = \frac{AC}{AB} \]

Из подобия треугольников ABC и ACH, мы можем использовать соотношение:

\[ \frac{AC}{AB} = \frac{AH}{AC} \]

Это значит, что

\[ AC^2 = AB \cdot AH \]

Также, из подобия треугольников ABC и CBH:

\[ \frac{BC}{AB} = \frac{CH}{AC} \]

Используя теорему Пифагора для треугольника ACH:

\[ AH^2 + CH^2 = AC^2 \]

Мы знаем AC = 80 и CH = 8√91.

\[ AH^2 + (8\sqrt{91})^2 = 80^2 \]

\[ AH^2 + 64 \cdot 91 = 6400 \]

\[ AH^2 + 5824 = 6400 \]

\[ AH^2 = 6400 - 5824 \]

\[ AH^2 = 576 \]

\[ AH = \sqrt{576} = 24 \]

Теперь, используя соотношение $$AC^2 = AB · AH$$:

\[ 80^2 = AB · 24 \]

\[ 6400 = AB · 24 \]

\[ AB = \frac{6400}{24} = \frac{800}{3} \]

Наконец, найдем sin ∠ABC:

\[ \sin \angle ABC = \frac{AC}{AB} = \frac{80}{\frac{800}{3}} = 80 · \frac{3}{800} = \frac{240}{800} = \frac{24}{80} = \frac{3}{10} \]

Ответ: 0.3