2. В треугольнике АВС известно, что DE — средняя линия. Площадь треугольника CDE равна 89. Найдите площадь треугольника АВС.

Решение:

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны. В данном случае, DE параллельна AB и DE = 1/2 AB.

Треугольник CDE подобен треугольнику CAB. Коэффициент подобия k (отношение сторон треугольника CDE к соответствующим сторонам треугольника CAB) равен:

\[ k = \frac{DE}{AB} = \frac{1}{2} \]

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

\[ \frac{S_{CDE}}{S_{CAB}} = k^2 \]

Мы знаем, что $$S_{CDE} = 89$$ и $$k = \frac{1}{2}$$.

\[ \frac{89}{S_{CAB}} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 \]

\[ \frac{89}{S_{CAB}} = \frac{1}{4} \]

Чтобы найти площадь треугольника CAB (что то же самое, что и площадь треугольника ABC), выразим $$S_{CAB}$$:

\[ S_{CAB} = 89 · 4 \]

\[ S_{CAB} = 356 \]

Ответ: 356