1. В равнобедренном треугольнике MNK с основанием MN проведена медиана КС. На ней взята точка D. Докажите равенство треугольников MKD и NKD.

Решение:

В равнобедренном треугольнике MNK с основанием MN, медиана КС является также высотой и биссектрисой. Это значит, что:

1. KC перпендикулярно MN (KC — высота).
2. ∠MCD = ∠NCD (КС — биссектриса).
3. MK = NK (по условию, треугольник равнобедренный).
4. MC = NC (поскольку КС — медиана).

Теперь рассмотрим треугольники MKD и NKD:

• MK = NK (по условию).
• KD = KD (общая сторона).
• ∠MKD = ∠NKD (так как КС — биссектриса, а D лежит на ней, то ∠MKD = ∠NKD).

По двум сторонам и углу между ними (по признаку СУС), треугольники MKD и NKD равны.

Альтернативное доказательство:

Так как KC — медиана, то MC = NC. В равнобедренном треугольнике MNK, проведенная к основанию медиана (KC) является также высотой, то есть ∠CKM = ∠CKN. Точка D лежит на КС. Следовательно:

• MK = NK (по условию).
• ∠MKD = ∠NKD (так как D лежит на биссектрисе КС).
• KD = KD (общая сторона).

По двум сторонам и углу между ними (по признаку СУС), треугольники MKD и NKD равны.

Другой вариант доказательства, использующий равенство треугольников KMC и KNC:

1. MK = NK (по условию).
2. MC = NC (КС - медиана).
3. KC = KC (общая сторона).

Следовательно, треугольники KMC и KNC равны по трем сторонам (по признаку ССС).

Из равенства треугольников KMC и KNC следует, что ∠MKC = ∠NKC. Точка D лежит на КС. Рассматриваем треугольники MKD и NKD:

• MK = NK (по условию).
• ∠MKD = ∠NKD (из равенства ∠MKC = ∠NKC).
• KD = KD (общая сторона).

Следовательно, треугольники MKD и NKD равны по двум сторонам и углу между ними (по признаку СУС).