3. В прямоугольном треугольнике EDF с гипотенузой EF, равной 16 см, проведена высота DK. Найдите ЕК и FK, если угол Е равен 30°.

Решение:

Дано: ╁EDF — прямоугольный (∠D = 90°), EF = 16 см, DK ⊥ EF. ∠E = 30°.

Найти: EK, FK.

1. Рассмотрим ╁EDF: ∠E = 30°, ∠EDF = 90°. Гипотенуза EF = 16 см.
2. Найдем ED: В прямоугольном треугольнике напротив угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы. Следовательно, ED = EF / 2 = 16 / 2 = 8 см.
3. Найдем DF: По теореме Пифагора: DF² = EF² - ED² = 16² - 8² = 256 - 64 = 192. DF = √192 = √(64 × 3) = 8√3 см.
4. Рассмотрим ╁EDK: Этот треугольник также прямоугольный (∠DKF = 90°). Угол ∠E = 30°. Гипотенуза ED = 8 см.
5. Найдем EK: В ╁EDK, cos(∠E) = EK / ED. Отсюда EK = ED * cos(∠E) = 8 * cos(30°) = 8 * (√3 / 2) = 4√3 см.
6. Найдем FK: FK = EF - EK = 16 - 4√3 см.

Ответ: EK = 4√3 см, FK = 16 - 4√3 см.