1) (В)течени.. тридцати лет он был редактором газеты. 2) (В)продолжени.. романа появились новые персонажи. 3) Мы пришли (на) встречу с известными артистами. 4) Мы продолжали работать, (не) смотря на обстоятельства.

Пошаговое решение:

• 1. (В)течени.. тридцати лет он был редактором газеты. (В течение - предлог, пишется раздельно)
• 2. (В)продолжени.. романа появились новые персонажи. (В продолжение - предлог, пишется раздельно)
• 3. Мы пришли (на) встречу с известными артистами. (Навстречу - наречие, но в данном контексте с предлогом 'на' пишется слитно, образуя предлог)
• 4. Мы продолжали работать, (не) смотря на обстоятельства. (Не смотря - деепричастие с частицей 'не', пишется раздельно)