1) В тетраэдре ABCD точки M, K и P — соответственно середины ребер AB, BD и BC. Доказать, что плоскость MKP параллельна плоскости ACD, и найти площадь △MKP, если площадь △ACD равна 48 см².

1. В треугольнике ABD точки M и K — середины сторон AB и BD. Поэтому средняя линия MK параллельна AD: \(MK\parallel AD\).

2. В треугольнике ABC точки M и P — середины сторон AB и BC. Поэтому \(MP\parallel AC\).

3. Прямые MK и MP пересекаются и лежат в плоскости MKP; прямые AD и AC пересекаются и лежат в плоскости ACD. Поскольку две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, \((MKP)\parallel(ACD)\).

4. В треугольнике BCD отрезок KP соединяет середины BD и BC, поэтому \(KP\parallel DC\). Следовательно, треугольники MKP и ACD подобны, а коэффициент подобия равен \(\frac{1}{2}\). Тогда отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия: \(S_{MKP}=48\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^2=12\text{ см}^2\).

Ответ: плоскость MKP параллельна плоскости ACD; \(S_{MKP}=12\text{ см}^2\).