1. В тетраэдре DABC точки A₁, B₁ и C₁ — середины рёбер DA, DB и DC соответственно. а) Докажите подобие треугольников ABC и A₁B₁C₁. б) Найдите площадь треугольника A₁B₁C₁, если площадь треугольника ABC равна 44 см².

а) В треугольнике DAB отрезок A₁B₁ соединяет середины сторон DA и DB, поэтому A₁B₁ ∥ AB и A₁B₁ = AB/2. Аналогично, в треугольниках DBC и DAC: B₁C₁ ∥ BC, B₁C₁ = BC/2; A₁C₁ ∥ AC, A₁C₁ = AC/2.

Значит, соответствующие стороны треугольников A₁B₁C₁ и ABC пропорциональны с коэффициентом 1/2. Следовательно, △A₁B₁C₁ ∼ △ABC.

б) Площади подобных треугольников относятся как квадраты коэффициента подобия: S(A₁B₁C₁) = (1/2)² · S(ABC) = 1/4 · 44 = 11 см².

Ответ: S(A₁B₁C₁) = 11 см².