3. В тетраэдре DABC точки M и N — середины рёбер DA и DB. Постройте сечение тетраэдра, проходящее через точки M и N параллельно прямой DC. Определите вид построенного сечения.

В грани DAB отрезок MN соединяет середины DA и DB, поэтому MN ∥ AB. Через M проведём в грани DAC прямую, параллельную DC; она пересечёт AC в точке P. По теореме о средней линии треугольника DAC точка P — середина AC.

Через N проведём в грани DBC прямую, параллельную DC; она пересечёт BC в точке Q. Тогда Q — середина BC. Соединим P и Q. В треугольнике ABC отрезок PQ соединяет середины AC и BC, следовательно, PQ ∥ AB, а значит, PQ ∥ MN.

Сечение — четырёхугольник MNPQ. Его противоположные стороны параллельны: MN ∥ PQ и MP ∥ NQ ∥ DC. Следовательно, это параллелограмм.

Ответ: сечение MNPQ — параллелограмм; P и Q — середины AC и BC соответственно.