1. В тетраэдре DABC точки B₁, C₁ и D₁ — середины рёбер AB, AC и AD соответственно. а) Докажите подобие треугольников B₁C₁D₁ и BCD. б) Найдите площадь треугольника BCD, если площадь треугольника B₁C₁D₁ равна 12 см².

а) Так как B₁ и C₁ — середины сторон AB и AC треугольника ABC, то B₁C₁ || BC и B₁C₁ = BC/2.

Аналогично, в треугольниках ABD и ACD получаем B₁D₁ || BD, B₁D₁ = BD/2 и C₁D₁ || CD, C₁D₁ = CD/2.

Следовательно, соответствующие стороны треугольников B₁C₁D₁ и BCD пропорциональны с коэффициентом 1/2, поэтому треугольники подобны: △B₁C₁D₁ ∼ △BCD.

б) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

\(S_{B₁C₁D₁}/S_{BCD}=(1/2)^2=1/4\).

Значит, \(S_{BCD}=4\cdot12=48\) см².

Ответ: 48 см².