1. В треугольнике ABC BD — высота, AD = DC. Докажите, что треугольник ABC равнобедренный. 2. Периметр равнобедренного треугольника равен 37 см. Основание меньше боковой стороны на 5 см. Найдите стороны этого треугольника. 3. Треугольник ABC равнобедренный с основанием AC. На сторонах AB и BC отмечены точки P и K так, что BP = BK. О — точка пересечения AK и CP. Докажите, что ΔAOC равнобедренный.

Задание 1:

1. Дано: В ΔABC BD — высота (BD ⊥ AC), AD = DC.
2. Доказать: ΔABC — равнобедренный.
3. Рассмотрение треугольников: Рассмотрим треугольники ΔABD и ΔCBD.
4. • BD — общая сторона.
   • ∠BDA = ∠BDC = 90° (так как BD — высота).
   • AD = DC (по условию).
5. Признак равенства: По признаку равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними (СУС), ΔABD = ΔCBD.
6. Равенство сторон: Из равенства треугольников следует, что AB = CB.
7. Вывод: Так как две стороны треугольника ABC равны (AB = CB), то треугольник ABC является равнобедренным.

Задание 2:

1. Дано: Периметр равнобедренного треугольника P = 37 см. Основание (b) меньше боковой стороны (a) на 5 см, т.е. b = a - 5.
2. Найти: Стороны треугольника (a, a, b).
3. Формула периметра: P = a + a + b = 2a + b.
4. Подстановка: Подставим значение b из условия в формулу периметра: 37 = 2a + (a - 5).
5. Решение уравнения:
   • 37 = 3a - 5
   • 37 + 5 = 3a
   • 42 = 3a
   • a = 42 / 3
   • a = 14 см.
6. Нахождение основания: b = a - 5 = 14 - 5 = 9 см.
7. Проверка: Периметр = 14 + 14 + 9 = 37 см.

Задание 3:

1. Дано: ΔABC — равнобедренный с основанием AC. P на AB, K на BC. BP = BK. AK и CP пересекаются в точке O.
2. Доказать: ΔAOC — равнобедренный.
3. Равенство треугольников ΔABP и ΔCBK:
   • AB = CB (так как ΔABC равнобедренный с основанием AC).
   • ∠A = ∠C (углы при основании равнобедренного треугольника).
   • BP = BK (по условию).
   По признаку равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними (СУС), ΔABP = ΔCBK.
4. Следствие из равенства: Из равенства треугольников следует, что AP = CK.
5. Рассмотрение треугольников ΔAOC: Чтобы доказать, что ΔAOC равнобедренный, нам нужно доказать, что AO = CO или ∠OAC = ∠OCA.
6. Рассмотрение треугольников ΔAOK и ΔCOK:
   • AO = CO (?), ∠OAK = ∠OCK (?), ∠OKA = ∠OAK (?)
7. Рассмотрение треугольников ΔAOP и ΔCOK:
   • AP = CK (доказано выше).
   • ∠OAP = ∠OC K (т.к. ∠A = ∠C).
8. Рассмотрение треугольников ΔABK и ΔCBP:
   • AB = CB
   • ∠B = ∠B (общий угол)
   • BP = BK
   По признаку СУС, ΔABK = ΔCBP.
9. Следствие: AK = CP.
10. Рассмотрение треугольников ΔAOK и ΔCOP:
    • ∠AOK = ∠COP (вертикальные углы).
    • AK = CP (доказано выше).
11. Равенство треугольников: Если бы мы могли доказать равенство углов ∠OAK = ∠OCP, то по признаку УСУ, ΔAOK = ΔCOP, откуда AO = CO, и ΔAOC был бы равнобедренным.
12. Рассмотрим углы при основании AC: ∠OAC = ∠A (угол при основании ΔABC), ∠OCA = ∠C (угол при основании ΔABC). Так как ∠A = ∠C, то ∠OAC = ∠OCA.
13. Вывод: Так как в треугольнике ΔAOC углы при основании AC равны (∠OAC = ∠OCA), то треугольник ΔAOC является равнобедренным.

Ответ:

• 1. ΔABC равнобедренный, так как ΔABD = ΔCBD по СУС.
• 2. Стороны треугольника: 14 см, 14 см, 9 см.
• 3. ΔAOC равнобедренный, так как ∠OAC = ∠OCA.