1. В треугольнике ABC проведены медиана BM и высота BH. Известно, что AC = 40 и BC = BM. Найдите AH.

Так как BM — медиана, точка M является серединой AC:

\(AM=MC=\dfrac{AC}{2}=20\).

Так как \(BC=BM\), треугольник BMC равнобедренный. Высота BH, проведённая к основанию AC, одновременно является медианой к основанию MC. Поэтому \(HM=MC=20\).

Тогда \(AH=AM+MH=20+20=40\)?

Уточним координатно: пусть \(AH=x\), тогда \(HM=x-20\). Из равенства \(BC=BM\):

\((40-x)^2+BH^2=(20-x)^2+BH^2\).

\((40-x)^2=(20-x)^2\), откуда \(x=30\).

Ответ: 30