1. В треугольнике ABC проведены медиана BM и высота BH. Известно, что AC = 59 и BC = BM. Найдите AH.

Пусть AH = x, а BH = h. Так как BM — медиана, то MC = AC / 2 = 59 / 2 = 29,5.

По теореме Пифагора:

\(BM^2 = (AH - AM)^2 + BH^2 = (x - 29{,}5)^2 + h^2\).

\(BC^2 = (AC - AH)^2 + BH^2 = (59 - x)^2 + h^2\).

По условию \(BC = BM\), поэтому:

\((x - 29{,}5)^2 + h^2 = (59 - x)^2 + h^2\).

\((x - 29{,}5)^2 = (59 - x)^2\), откуда \(x - 29{,}5 = 59 - x\).

\(2x = 88{,}5\), поэтому \(x = 44{,}25\).

Ответ: 44,25.