1. В треугольнике ABC точка D — середина стороны AC, точка O — точка пересечения его высот, точка K не лежит в плоскости ABC. При каком условии можно провести плоскость через прямую KB и точки O и D?

Плоскость через прямую KB и точку O определяется однозначно, поскольку O не лежит на KB: прямая KB пересекает плоскость ABC только в точке B, а ортоцентр O не совпадает с B.

Чтобы эта плоскость проходила также через D, точки B, O и D должны лежать на одной прямой. Так как D — середина AC, BD является медианой. Если высота BO проходит по медиане BD, то треугольник ABC равнобедренный с вершиной B: AB = BC. И наоборот, в таком треугольнике медиана BD является высотой, поэтому O лежит на BD.

Ответ: плоскость можно провести тогда и только тогда, когда AB = BC.