1. В треугольнике АВС АС = BC = 7, tgA = \(\frac{33}{4\sqrt{33}}\). Найдите АВ.

Решение:

В треугольнике ABC AC = BC = 7, значит, треугольник равнобедренный.

Найдём \(\cos A\) из \(\operatorname{tg} A = \frac{\sin A}{\cos A}\) и \(\sin^2 A + \cos^2 A = 1\).

\(\operatorname{tg}^2 A = \left(\frac{33}{4\sqrt{33}}\right)^2 = \frac{33^2}{16 \cdot 33} = \frac{33}{16}\).

\(\frac{\sin^2 A}{\cos^2 A} = \frac{33}{16}\) \(\implies \sin^2 A = \frac{33}{16} \cos^2 A\).

\(\frac{33}{16} \cos^2 A + \cos^2 A = 1\)

\(\cos^2 A \left(\frac{33}{16} + 1\right) = 1\)

\(\cos^2 A \left(\frac{33+16}{16}\right) = 1\)

\(\cos^2 A \frac{49}{16} = 1\)

\(\cos^2 A = \frac{16}{49}\) \(\implies \cos A = \sqrt{\frac{16}{49}} = \frac{4}{7}\) (так как угол A в треугольнике, \(\cos A > 0\)).

Теперь найдём \(AB\) по теореме косинусов:

\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos C \]

Так как \(AC = BC\), \(\angle A = \angle B\). \(\angle C = 180^\circ - 2A\).

\(\cos C = \cos(180^\circ - 2A) = -\cos(2A)\).

\(\cos(2A) = 2\cos^2 A - 1 = 2\left(\frac{4}{7}\right)^2 - 1 = 2\cdot\frac{16}{49} - 1 = \frac{32}{49} - 1 = \frac{32-49}{49} = -\frac{17}{49}\).

\(\cos C = -\left(-\frac{17}{49}\right) = \frac{17}{49}\).

\[ AB^2 = 7^2 + 7^2 - 2 \cdot 7 \cdot 7 \cdot \frac{17}{49} = 49 + 49 - 98 \cdot \frac{17}{49} = 98 - 2 \cdot 17 = 98 - 34 = 64 \]

\[ AB = \sqrt{64} = 8 \]

Ответ: AB = 8.