1. В треугольнике АВС угол А равен 30°, а угол В равен 45°, ВС=10√2. Найдите AC.

Решение:

В треугольнике ABC:

\( \angle A = 30^{\circ} \)

\( \angle B = 45^{\circ} \)

\( BC = 10\sqrt{2} \)

Найдем \( \angle C \):

\( \angle C = 180^{\circ} - \angle A - \angle B = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 45^{\circ} = 105^{\circ} \)

Используем теорему синусов:

\( \frac{AC}{\sin(\angle B)} = \frac{BC}{\sin(\angle A)} \)

\( \frac{AC}{\sin(45^{\circ})} = \frac{10\sqrt{2}}{\sin(30^{\circ})} \)

\( AC = \frac{10\sqrt{2} \cdot \sin(45^{\circ})}{\sin(30^{\circ})} = \frac{10\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{10 \cdot 2 \cdot 2}{2} = 20 \)

Ответ: AC = 20.