1. В треугольнике МРК известно, что ∠М = 64°, ∠Р = 46°. Укажите верное неравенство: 1) MK > PK; 2) PK > PM; 3) MK > PM; 4) PM > МК.

Решение:

В треугольнике МРК сумма углов равна 180°. Найдем угол ∠К:

\( \angle K = 180° - \angle M - \angle P = 180° - 64° - 46° = 180° - 110° = 70° \)

В треугольнике против большего угла лежит большая сторона. Сравним углы:

• \( \angle K = 70° \)
• \( \angle M = 64° \)
• \( \angle P = 46° \)

Наибольший угол — \( \angle K \), напротив него лежит сторона MP. Наименьший угол — \( \angle P \), напротив него лежит сторона MK. Средний угол — \( \angle M \), напротив него лежит сторона PK.

Таким образом, \( MP > PK > MK \).

Сравним стороны попарно:

• \( MK < PK \) (так как \( \angle P < \angle M \))
• \( PK < MP \) (так как \( \angle M < \angle K \))
• \( MK < MP \) (так как \( \angle P < \angle K \))

Из предложенных вариантов, верным является \( MK < PK \) (или \( PK > MK \)).

Среди вариантов ответа:

• 1) MK > PK — неверно
• 2) PK > PM — неверно (PM > PK)
• 3) MK > PM — неверно (PM > MK)
• 4) PM > МК — верно, так как \( \angle K > \angle M \)

Однако, если исходить из стандартной нумерации вариантов, то нам нужно выбрать тот, который соответствует правильному неравенству. Перепроверим варианты:

• 1) MK > PK: \( 46° < 64° \Rightarrow MK < PK \). Неверно.
• 2) PK > PM: \( 64° < 70° \Rightarrow PK < PM \). Неверно.
• 3) MK > PM: \( 46° < 70° \Rightarrow MK < PM \). Неверно.
• 4) PM > МК: \( 70° > 46° \Rightarrow PM > MK \). Верно.

Кажется, что в задании возможна опечатка в вариантах, так как ни один из вариантов точно не соответствует \( MP > PK > MK \). Но если выбирать наиболее точное, то \( PM > MK \) является верным.

Перечитаем условие и варианты:

\( \angle M = 64° \), \( \angle P = 46° \), \( \angle K = 70° \)

Против \( \angle M \) лежит сторона PK.

Против \( \angle P \) лежит сторона MK.

Против \( \angle K \) лежит сторона PM.

Следовательно: \( MK < PK < PM \).

Проверим варианты:

1. MK > PK: \( MK < PK \). Неверно.
2. PK > PM: \( PK < PM \). Неверно.
3. MK > PM: \( MK < PM \). Неверно.
4. PM > MK: \( PM > MK \). Верно.

Ответ: 4) PM > МК.