№1. В треугольнике RQS известно, что RS = 8, ∠R = 60°, ∠S = 90°. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Для начала, давай разберемся с задачей №1.

Дано:

• Треугольник RQS
• RS = 8
• ∡R = 60°
• ∡S = 90°

Найти:

• Радиус описанной окружности (R_описанной)

Решение:

В прямоугольном треугольнике (потому что есть прямой угол ∡S = 90°) радиус описанной окружности равен половине гипотенузы.

В нашем треугольнике RQS гипотенузой является сторона RQ, так как она лежит напротив прямого угла S.

Чтобы найти длину гипотенузы RQ, мы можем использовать тригонометрические функции. Мы знаем сторону RS и угол R.

Мы можем использовать косинус угла R:

• \[ \cos(R) = \frac{RS}{RQ} \]

Подставляем известные значения:

• \[ \cos(60°) = \frac{8}{RQ} \]

Знаем, что \[ \cos(60°) = \frac{1}{2} \]

Теперь решаем уравнение:

• \[ \frac{1}{2} = \frac{8}{RQ} \]
• \[ RQ = 8 \times 2 \]
• \[ RQ = 16 \]

Итак, длина гипотенузы RQ равна 16.

Теперь находим радиус описанной окружности:

• \[ R_{\text{описанной}} = \frac{RQ}{2} \]
• \[ R_{\text{описанной}} = \frac{16}{2} \]
• \[ R_{\text{описанной}} = 8 \]

Ответ: Радиус описанной окружности равен 8.