№2. Точка М - середина хорды ВС. Она соединена с центром О окружности. Найдите углы треугольника ВОМ, если ∠ BCO = 71°.

Переходим к задаче №2. Тут у нас окружность, хорда и центр.

Дано:

• Окружность с центром О
• ВС - хорда
• М - середина ВС
• Точка О соединена с М
• ∡BCO = 71°

Найти:

• Углы треугольника ВОМ (∡BOM, ∡OBM, ∡BMO)

Решение:

1. Треугольник BCO:

• OB и OC - это радиусы одной окружности, значит, треугольник BCO - равнобедренный.
• В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. У нас основание BC, значит, ∡CBO = ∡BCO = 71°.
• Найдем угол BOC:

• \[ \angle BOC = 180° - (\angle CBO + \angle BCO) \]
• \[ \angle BOC = 180° - (71° + 71°) \]
• \[ \angle BOC = 180° - 142° \]
• \[ \angle BOC = 38° \]

2. Треугольник BOM:

• OM - это радиус, проведенный к середине хорды BC. В окружности радиус, проведенный к середине хорды, перпендикулярен ей.
• Значит, ∡BMO = 90°.
• OM также делит угол BOC пополам (свойство равнобедренного треугольника, где медиана к основанию является и биссектрисой).
• Значит, ∡BOM = ∡BOC / 2 = 38° / 2 = 19°.
• Теперь мы можем найти последний угол в треугольнике BOM:

• \[ \angle OBM = 180° - (\angle BOM + \angle BMO) \]
• \[ \angle OBM = 180° - (19° + 90°) \]
• \[ \angle OBM = 180° - 109° \]
• \[ \angle OBM = 71° \]

Обрати внимание: Угол OBM - это тот же самый угол, что и угол CBO, который мы нашли ранее. Всё сходится!

Ответ: Углы треугольника ВОМ равны: ∡BOM = 19°, ∡OBM = 71°, ∡BMO = 90°.