1. Вася и Кеша по очереди ставят королей на клетки доски 9 х 9 так, чтобы короли не били друг друга. Первый ход делает Вася. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет при правильной игре?

Краткое пояснение:

Логика решения:

Игра на доске 9x9 с королями, где нельзя ставить королей на бьющие клетки, сводится к тому, кто сможет поставить последнего короля. Рассмотрим ситуацию: доска 9x9 имеет 81 клетку. Король бьет соседние клетки по горизонтали, вертикали и диагонали. Таким образом, ставя короля на одну клетку, мы занимаем 9 клеток (включая ту, где стоит король).

Если Вася ходит первым, он может постараться занять центральные клетки, так как они имеют наибольшее количество «бьющих» клеток. Однако, при правильной игре, второй игрок (Кеша) всегда может отзеркалить ходы первого игрока, если Вася ставит королей симметрично. Суть в том, что количество доступных для хода клеток всегда будет четным или нечетным в зависимости от общего числа клеток и количества занятых. Если общее число клеток четное, и первый игрок делает последний ход, он выигрывает. Если нечетное, то второй игрок. В данном случае, доска 9x9 - это 81 клетка (нечетное число). При правильной игре, Кеша сможет отзеркалить ходы Васи и, поскольку Вася делает первый ход, Кеша сможет сделать последний ход.

Ответ: Кеша выиграет при правильной игре.