5. На доске написаны 25 единиц и 20 двоек. За один ход каждому двух игроков разрешается стереть любые две цифры и, если они были одинаковые, написать двойку, если разными — написать единицу. Если последняя оставшаяся на доске цифра — единица, выигрывает первый игрок, если двойка — выигрывает второй. Кто победит в данной игре?

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Начальные условия. Изначально на доске 25 единиц и 20 двоек. Общее количество цифр = 25 + 20 = 45.
2. Шаг 2: Анализ операций. Рассмотрим, как каждая операция влияет на количество единиц:
   • Стираем две единицы (1, 1): Остается 0 единиц. Пишем двойку (2). Количество единиц уменьшается на 2.
   • Стираем две двойки (2, 2): Остается 0 двоек. Пишем двойку (2). Количество единиц не меняется.
   • Стираем единицу и двойку (1, 2): Остается 0 единиц и 0 двоек. Пишем единицу (1). Количество единиц не меняется.
3. Шаг 3: Фокус на единицах. Мы видим, что количество единиц может либо уменьшиться на 2, либо остаться прежним. Это означает, что четность количества единиц всегда сохраняется. Если изначально количество единиц четное, оно останется четным. Если нечетное — останется нечетным.
4. Шаг 4: Исходное количество единиц. У нас изначально 25 единиц (нечетное число).
5. Шаг 5: Условие выигрыша. Первый игрок выигрывает, если последняя оставшаяся цифра — единица. Это означает, что осталась ровно одна единица.
6. Шаг 6: Вывод. Так как четность количества единиц сохраняется, а нам нужно, чтобы осталась одна единица (нечетное число), то это возможно. Поскольку начальное количество единиц нечетное (25), и каждая операция сохраняет эту нечетность, то при правильной игре всегда можно прийти к ситуации, когда останется одна единица.

Ответ: Выиграет первый игрок, если он будет стремиться к тому, чтобы последней осталась единица. Так как исходное число единиц нечетное, и четность сохраняется, он сможет привести игру к желаемому результату.