1. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 208 км. Отдохнув, он отправился обратно в А, увеличив скорость на 3 км/ч. По пути он сделал остановку на 3 часа, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из В в А.

Задание 1. Задача на движение

Обозначения:

• Пусть \( v \) — скорость велосипедиста на пути из А в В (км/ч).
• Тогда \( v+3 \) — скорость велосипедиста на пути из В в А (км/ч).
• \( t_1 \) — время в пути из А в В (ч).
• \( t_2 \) — время в пути из В в А (ч).
• \( S = 208 \) км — расстояние между городами.

Условие:

Время в пути из А в В: \( t_1 = \frac{S}{v} = \frac{208}{v} \) ч.

Время в пути из В в А: \( t_2 = \frac{S}{v+3} \) ч.

По условию, на обратный путь велосипедист затратил на 3 часа больше, чем на путь из А в В. То есть:

\[ t_2 = t_1 + 3 \]

Решение:

1. Подставим выражения для времени в уравнение:

\[ \frac{208}{v+3} = \frac{208}{v} + 3 \]

1. Приведём к общему знаменателю. Умножим обе части уравнения на \( v(v+3) \):

\[ 208v = 208(v+3) + 3v(v+3) \]

1. Раскроем скобки:

\[ 208v = 208v + 624 + 3v^2 + 9v \]

1. Упростим уравнение, перенеся все члены в одну сторону:

\[ 3v^2 + 9v + 624 = 0 \]

1. Разделим уравнение на 3:

\[ v^2 + 3v + 208 = 0 \]

1. Вычислим дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(1)(208) = 9 - 832 = -823 \).

Так как дискриминант отрицательный (\( D < 0 \)), у данного квадратного уравнения нет действительных корней. Это означает, что условие задачи, скорее всего, некорректно или содержит опечатку.

Предположим, что на обратный путь велосипедист затратил на 3 часа МЕНЬШЕ времени, чем на путь из А в В.

Тогда уравнение будет иметь вид:

\[ t_1 = t_2 + 3 \]

\[ \frac{208}{v} = \frac{208}{v+3} + 3 \]

Умножим обе части на \( v(v+3) \):

\[ 208(v+3) = 208v + 3v(v+3) \]

\[ 208v + 624 = 208v + 3v^2 + 9v \]

\[ 3v^2 + 9v - 624 = 0 \]

Разделим на 3:

\[ v^2 + 3v - 208 = 0 \]

Вычислим дискриминант: \( D = 3^2 - 4(1)(-208) = 9 + 832 = 841 \).

Корень из дискриминанта: \( \sqrt{D} = \sqrt{841} = 29 \).

Найдем значения \( v \):

\[ v_1 = \frac{-3 + 29}{2 \cdot 1} = \frac{26}{2} = 13 \]

\[ v_2 = \frac{-3 - 29}{2 \cdot 1} = \frac{-32}{2} = -16 \]

Так как скорость не может быть отрицательной, \( v = 13 \) км/ч. Это скорость на пути из А в В.

Нам нужно найти скорость на пути из В в А, которая равна \( v+3 \).

\[ 13 + 3 = 16 \] км/ч.

Проверка:

Время из А в В: \( t_1 = \frac{208}{13} = 16 \) часов.

Время из В в А: \( t_2 = \frac{208}{16} = 13 \) часов.

Разница во времени: \( 16 - 13 = 3 \) часа. Условие выполнено.

Ответ: 16 км/ч.