1. Вершины ∆ АВС лежат на окружности с центром О, <AOB=80°,AC:BC=2:3. Найдите углы Д АВС.

Решение:

1. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Поэтому \( \angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{1}{2} \cdot 80^{\circ} = 40^{\circ} \).
2. Сумма углов треугольника равна \( 180^{\circ} \). Отношение дуг \( AC \) и \( BC \) равно отношению углов \( \angle AOC \) и \( \angle BOC \).
3. Пусть \( \angle AOC = 2x \), тогда \( \angle BOC = 3x \).
4. \( \angle AOC + \angle BOC = 360^{\circ} - \angle AOB = 360^{\circ} - 80^{\circ} = 280^{\circ} \) (если \( O \) внутри \( \triangle ABC \)). Или, если \( O \) вне \( \triangle ABC \) и \( \angle AOB \) — внешний угол, то \( \angle AOC + \angle BOC = 80^{\circ} \) — центральный угол. Если \( \angle AOB \) — центральный угол, то дуга \( AB \) равна \( 80^{\circ} \).
5. Пусть \( \stackrel{\frown}{AC} = \alpha \) и \( \stackrel{\frown}{BC} = \beta \). Тогда \( \alpha : \beta = 2:3 \).
6. \( \stackrel{\frown}{AC} + \stackrel{\frown}{BC} + \stackrel{\frown}{AB} = 360^{\circ} \).
7. \( \alpha + \beta + 80^{\circ} = 360^{\circ} \) \( \Rightarrow \alpha + \beta = 280^{\circ} \).
8. \( \alpha = \frac{2}{5} (280^{\circ}) = 112^{\circ} \), \( \beta = \frac{3}{5} (280^{\circ}) = 168^{\circ} \).
9. \( \angle ABC = \frac{1}{2} \stackrel{\frown}{AC} = \frac{1}{2} \cdot 112^{\circ} = 56^{\circ} \).
10. \( \angle BAC = \frac{1}{2} \stackrel{\frown}{BC} = \frac{1}{2} \cdot 168^{\circ} = 84^{\circ} \).
11. Проверка: \( 112^{\circ} + 168^{\circ} + 80^{\circ} = 360^{\circ} \). \( 40^{\circ} + 56^{\circ} + 84^{\circ} = 180^{\circ} \).

Ответ: углы треугольника ABC равны 84°, 56° и 40°.