1. Вершины ∆ АВС лежат на окружности с центром О, <АОВ=80°, AC:BC=2:3. Найдите углы Д АВС.

Решение:

1. Угол \( \angle AOB \) — центральный. Величина вписанного угла, опирающегося на ту же дугу, равна половине центрального угла. Дуга AB = \( \angle AOB = 80^{\circ} \).
2. Дуга AC : Дуга BC = 2 : 3. Общая дуга AC + дуга BC = \( 360^{\circ} - 80^{\circ} = 280^{\circ} \).
3. Пусть дуга AC = \( 2x \), а дуга BC = \( 3x \). Тогда \( 2x + 3x = 280^{\circ} \), \( 5x = 280^{\circ} \), \( x = 56^{\circ} \).
4. Дуга AC = \( 2 \cdot 56^{\circ} = 112^{\circ} \), дуга BC = \( 3 \cdot 56^{\circ} = 168^{\circ} \).
5. \( \angle ABC \) — вписанный угол, опирается на дугу AC. \( \angle ABC = \frac{1}{2} \text{дуги } AC = \frac{1}{2} \cdot 112^{\circ} = 56^{\circ} \).
6. \( \angle BAC \) — вписанный угол, опирается на дугу BC. \( \angle BAC = \frac{1}{2} \text{дуги } BC = \frac{1}{2} \cdot 168^{\circ} = 84^{\circ} \).
7. \( \angle ACB \) — вписанный угол, опирается на дугу AB. \( \angle ACB = \frac{1}{2} \text{дуги } AB = \frac{1}{2} \cdot 80^{\circ} = 40^{\circ} \).
8. Проверка: \( 56^{\circ} + 84^{\circ} + 40^{\circ} = 180^{\circ} \).

Ответ: \( \angle ABC = 56^{\circ}, \angle BAC = 84^{\circ}, \angle ACB = 40^{\circ} \).