1. Вычислить матричное выражение А²+3·А+5·Е для следующей матрицы А:

Решение:

Дана матрица $$A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 5 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$.

Для вычисления матричного выражения $$A^2 + 3A + 5E$$ сначала найдем $$A^2$$:

$$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 5 & 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 5 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \cdot 3 + 2 \cdot 1 + 1 \cdot 5 & 3 \cdot 2 + 2 \cdot 2 + 1 \cdot 0 & 3 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 1 \cdot 0 \\ 1 \cdot 3 + 2 \cdot 1 + 3 \cdot 5 & 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 0 & 1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 0 \\ 5 \cdot 3 + 0 \cdot 1 + 0 \cdot 5 & 5 \cdot 2 + 0 \cdot 2 + 0 \cdot 0 & 5 \cdot 1 + 0 \cdot 3 + 0 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 + 2 + 5 & 6 + 4 + 0 & 3 + 6 + 0 \\ 3 + 2 + 15 & 2 + 4 + 0 & 1 + 6 + 0 \\ 15 + 0 + 0 & 10 + 0 + 0 & 5 + 0 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 16 & 10 & 9 \\ 20 & 6 & 7 \\ 15 & 10 & 5 \end{pmatrix}$$.

Далее найдем $$3A$$:

$$3A = 3 \cdot \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 5 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 & 6 & 3 \\ 3 & 6 & 9 \\ 15 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$.

Матрица $$E$$ — единичная матрица того же размера, что и $$A$$, то есть $$3 \times 3$$: $$E = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$.

Найдем $$5E$$:

$$5E = 5 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}$$.

Теперь сложим все полученные матрицы:

$$A^2 + 3A + 5E = \begin{pmatrix} 16 & 10 & 9 \\ 20 & 6 & 7 \\ 15 & 10 & 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 9 & 6 & 3 \\ 3 & 6 & 9 \\ 15 & 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 16+9+5 & 10+6+0 & 9+3+0 \\ 20+3+0 & 6+6+5 & 7+9+0 \\ 15+15+0 & 10+0+0 & 5+0+5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 30 & 16 & 12 \\ 23 & 17 & 16 \\ 30 & 10 & 10 \end{pmatrix}$$.

Ответ: $$\begin{pmatrix} 30 & 16 & 12 \\ 23 & 17 & 16 \\ 30 & 10 & 10 \end{pmatrix}$$.