1. Вычислить, отметив угол на окружности: a) cos 510°; б) sin 19π 6 ; в) cos( -11π 3 ); г) tg 11π 6 ; д) ctg( 13π 4 ).

Решение:

Для решения этой задачи необходимо вычислить значения тригонометрических функций для заданных углов.

1. а) cos 510°

   Так как косинус является периодической функцией с периодом 360°, мы можем вычесть полные обороты:

   \[ \cos(510°) = \cos(510° - 360°) = \cos(150°) \]

   Угол 150° находится во второй четверти, где косинус отрицателен. Его можно представить как 180° - 30°:

   \[ \cos(150°) = \cos(180° - 30°) = -\cos(30°) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \]

2. б) sin 19π 6

   Период функции синуса равен 2π. Разделим 19π на 6, чтобы выделить полные обороты:

   \[ \frac{19\pi}{6} = \frac{18\pi + \pi}{6} = 3\pi + \frac{\pi}{6} \]

   Так как 3π = 2π + π, мы имеем:

   \[ \sin(\frac{19\pi}{6}) = \sin(3\pi + \frac{\pi}{6}) = \sin(\pi + \frac{\pi}{6}) \]

   Угол π + π 6 находится в третьей четверти, где синус отрицателен:

   \[ \sin(\pi + \frac{\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2} \]

3. в) cos( -11π 3

   Косинус — четная функция, поэтому \[ \cos(-\frac{11\pi}{3}) = \cos(\frac{11\pi}{3}) \]

   Период функции косинуса равен 2π. Выделим полные обороты:

   \[ \frac{11\pi}{3} = \frac{6\pi + 5\pi}{3} = 2\pi + \frac{5\pi}{3} \]

   Таким образом:

   \[ \cos(\frac{11\pi}{3}) = \cos(2\pi + \frac{5\pi}{3}) = \cos(\frac{5\pi}{3}) \]

   Угол π 3 находится в четвертой четверти, где косинус положителен. Его можно представить как 2π - π 3:

   \[ \cos(\frac{5\pi}{3}) = \cos(2\pi - \frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} \]

4. г) tg 11π 6

   Тангенс — периодическая функция с периодом π. Выделим полные обороты:

   \[ \frac{11\pi}{6} = \frac{6\pi + 5\pi}{6} = \pi + \frac{5\pi}{6} \]

   Таким образом:

   \[ \operatorname{tg}(\frac{11\pi}{6}) = \operatorname{tg}(\pi + \frac{5\pi}{6}) = \operatorname{tg}(\frac{5\pi}{6}) \]

   Угол π 6 находится во второй четверти, где тангенс отрицателен:

   \[ \operatorname{tg}(\frac{5\pi}{6}) = \operatorname{tg}(\pi - \frac{\pi}{6}) = -\operatorname{tg}(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3} \]

5. д) ctg( 13π 4

   Котангенс — периодическая функция с периодом π. Выделим полные обороты:

   \[ \frac{13\pi}{4} = \frac{12\pi + \pi}{4} = 3\pi + \frac{\pi}{4} \]

   Так как 3π = 2π + π:

   \[ \operatorname{ctg}(\frac{13\pi}{4}) = \operatorname{ctg}(3\pi + \frac{\pi}{4}) = \operatorname{ctg}(\pi + \frac{\pi}{4}) \]

   Угол π 4 находится в первой четверти, где котангенс положителен:

   \[ \operatorname{ctg}(\pi + \frac{\pi}{4}) = \operatorname{ctg}(\frac{\pi}{4}) = 1 \]

Ответ:

• а) cos 510° = -√3/2
• б) sin 19π/6 = -1/2
• в) cos(-11π/3) = 1/2
• г) tg 11π/6 = -√3/3
• д) ctg 13π/4 = 1