2. Найти sina, tga, sin2a, cos2a, если cos a = - 9/41 и π < a < 3π/2.

Решение:

Угол α находится в третьей четверти ( π < α < 3π 2 ), где синус и тангенс отрицательны, а косинус отрицателен.

Дано: \[ \cos \alpha = -\frac{9}{41} \]

1. Находим sin α:

   Используем основное тригонометрическое тождество: \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \]

   \[ \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{9}{41}\right)^2 = 1 - \frac{81}{1681} = \frac{1681 - 81}{1681} = \frac{1600}{1681} \]

   Так как α в третьей четверти, \[ \sin \alpha = -\sqrt{\frac{1600}{1681}} = -\frac{40}{41} \]

2. Находим tg α:

   Используем формулу: \[ \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \]

   \[ \operatorname{tg} \alpha = \frac{-40/41}{-9/41} = \frac{40}{9} \]

3. Находим sin 2α:

   Используем формулу двойного угла: \[ \sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha \]

   \[ \sin(2\alpha) = 2 \left(-\frac{40}{41}\right) \left(-\frac{9}{41}\right) = 2 \times \frac{360}{1681} = \frac{720}{1681} \]

4. Находим cos 2α:

   Используем одну из формул для косинуса двойного угла:

   \[ \cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha \]

   \[ \cos(2\alpha) = \left(-\frac{9}{41}\right)^2 - \left(-\frac{40}{41}\right)^2 = \frac{81}{1681} - \frac{1600}{1681} = \frac{81 - 1600}{1681} = -\frac{1519}{1681} \]

Ответ:

• sin α = -40/41
• tg α = 40/9
• sin 2α = 720/1681
• cos 2α = -1519/1681