1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = x² - 4x + 9, касательной к графику этой функции в точке x₀ = 3 и осью ординат.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Находим значение функции и ее производной в точке x₀ = 3.
   y(3) = 3² - 4(3) + 9 = 9 - 12 + 9 = 6.
   y'(x) = 2x - 4.
   y'(3) = 2(3) - 4 = 6 - 4 = 2.
2. Шаг 2: Составляем уравнение касательной.
   Уравнение касательной имеет вид: y - y(x₀) = y'(x₀)(x - x₀).
   y - 6 = 2(x - 3)
   y - 6 = 2x - 6
   y = 2x.
3. Шаг 3: Определяем пределы интегрирования. Фигура ограничена графиком функции y = x² - 4x + 9, касательной y = 2x и осью ординат (x=0).
   Найдем точку пересечения параболы и касательной: x² - 4x + 9 = 2x → x² - 6x + 9 = 0 → (x-3)² = 0 → x = 3.
4. Шаг 4: Вычисляем площадь фигуры. Площадь S ограничена осью ординат (x=0) и точкой касания (x=3). Верхняя граница — парабола, нижняя — касательная.
   S = ∫₀³ (x² - 4x + 9 - 2x) dx = ∫₀³ (x² - 6x + 9) dx.
5. Шаг 5: Вычисляем определенный интеграл.
   S = [x³/3 - 3x² + 9x]₀³ = (3³/3 - 3(3)² + 9(3)) - (0) = (27/3 - 27 + 27) = 9.

Ответ: 9