2. Вычислите массу участка стержня от x = 1 до x = 2, если его линейная плотность задается формулой ρ(x) = 4x² + 5x + 1.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Записываем формулу для вычисления массы. Масса (m) участка стержня равна определенному интегралу от линейной плотности ρ(x) по интервалу [a, b].
   m = ∫[a, b] ρ(x) dx
2. Шаг 2: Подставляем заданные значения.
   a = 1, b = 2, ρ(x) = 4x² + 5x + 1.
   m = ∫₁² (4x² + 5x + 1) dx
3. Шаг 3: Вычисляем неопределенный интеграл.
   ∫ (4x² + 5x + 1) dx = (4/3)x³ + (5/2)x² + x + C.
4. Шаг 4: Вычисляем определенный интеграл, используя пределы интегрирования.
   m = [(4/3)x³ + (5/2)x² + x]₁²
   m = ((4/3)(2)³ + (5/2)(2)² + 2) - ((4/3)(1)³ + (5/2)(1)² + 1)
   m = ((4/3)(8) + (5/2)(4) + 2) - (4/3 + 5/2 + 1)
   m = (32/3 + 10 + 2) - (4/3 + 5/2 + 1)
   m = (32/3 + 12) - (4/3 + 5/2 + 1)
   m = (32/3 + 36/3) - (8/6 + 15/6 + 6/6)
   m = 68/3 - 29/6
   m = 136/6 - 29/6
   m = 107/6.

Ответ: 107/6