1. Вычислить производную функции

Решение:

Для вычисления производных будем использовать основные правила дифференцирования.

• a) \( y = \frac{3}{x+1} - 2 \)
  \( y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{3}{x+1}\right) - \frac{d}{dx}(2) \)
  \( y' = 3 \cdot \frac{d}{dx}((x+1)^{-1}) - 0 \)
  \( y' = 3 \cdot (-1)(x+1)^{-2} \cdot \frac{d}{dx}(x+1) \)
  \( y' = -3(x+1)^{-2} \cdot 1 \)
  \( y' = -\frac{3}{(x+1)^2} \)
• б) \( f(x) = (1+x+x^3)^6 \)
  Используем правило цепочки: \( f'(x) = 6(1+x+x^3)^5 \cdot \frac{d}{dx}(1+x+x^3) \)
  \( f'(x) = 6(1+x+x^3)^5 \cdot (0+1+3x^2) \)
  \( f'(x) = 6(1+x+x^3)^5 (1+3x^2) \)
• в) \( y = 5 \cos(7x+1) - 6x^4 \)
  \( y' = 5 \cdot \frac{d}{dx}(\cos(7x+1)) - \frac{d}{dx}(6x^4) \)
  \( y' = 5 \cdot (-\sin(7x+1)) \cdot \frac{d}{dx}(7x+1) - 24x^3 \)
  \( y' = -5 \sin(7x+1) \cdot 7 - 24x^3 \)
  \( y' = -35 \sin(7x+1) - 24x^3 \)
• г) \( f(x) = \frac{2+4x}{\sin x} \)
  Используем правило частного: \( \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \)
  \( u = 2+4x \implies u' = 4 \)
  \( v = \sin x \implies v' = \cos x \)
  \( f'(x) = \frac{4 \cdot \sin x - (2+4x) \cdot \cos x}{(\sin x)^2} \)
  \( f'(x) = \frac{4 \sin x - 2 \cos x - 4x \cos x}{\sin^2 x} \)
• д) \( f(x) = x^4 \cdot \arccos \sqrt{x} \)
  Используем правило произведения: \( (uv)' = u'v + uv' \)
  \( u = x^4 \implies u' = 4x^3 \)
  \( v = \arccos \sqrt{x} \)
  \( v' = -\frac{1}{\sqrt{1-(\sqrt{x})^2}} \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{x}) \)
  \( v' = -\frac{1}{\sqrt{1-x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} \)
  \( f'(x) = 4x^3 \cdot \arccos \sqrt{x} + x^4 \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{1-x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}\right) \)
  \( f'(x) = 4x^3 \arccos \sqrt{x} - \frac{x^{3.5}}{2\sqrt{1-x}} \)
• е) \( f(x) = \log_3 \sqrt{11x+2} \)
  \( f(x) = \frac{\ln \sqrt{11x+2}}{\ln 3} = \frac{\frac{1}{2} \ln(11x+2)}{\ln 3} \)
  \( f'(x) = \frac{1}{2 \ln 3} \cdot \frac{d}{dx}(\ln(11x+2)) \)
  \( f'(x) = \frac{1}{2 \ln 3} \cdot \frac{1}{11x+2} \cdot \frac{d}{dx}(11x+2) \)
  \( f'(x) = \frac{1}{2 \ln 3} \cdot \frac{1}{11x+2} \cdot 11 \)
  \( f'(x) = \frac{11}{2 \ln 3 (11x+2)} \)
• ж) \( f(x) = \frac{\cos x - 2x}{\log_2 x^2} \)
  \( f(x) = \frac{\cos x - 2x}{2 \log_2 x} = \frac{\cos x - 2x}{2 \frac{\ln x}{\ln 2}} = \frac{\ln 2}{2} \frac{\cos x - 2x}{\ln x} \)
  Используем правило частного:
  \( u = \cos x - 2x \implies u' = -\sin x - 2 \)
  \( v = \ln x \implies v' = \frac{1}{x} \)
  \( f'(x) = \frac{\ln 2}{2} \cdot \frac{(-\sin x - 2) \ln x - (\cos x - 2x) \frac{1}{x}}{(\ln x)^2} \)
  \( f'(x) = \frac{\ln 2}{2} \frac{(-\sin x - 2) \ln x - \frac{\cos x}{x} + 2}{(\ln x)^2} \)
• з) \( f(x) = \mathrm{arctg}(3x^2+1) \)
  \( f'(x) = \frac{1}{1+(3x^2+1)^2} \cdot \frac{d}{dx}(3x^2+1) \)
  \( f'(x) = \frac{1}{1+(9x^4+6x^2+1)} \cdot (6x) \)
  \( f'(x) = \frac{6x}{9x^4+6x^2+2} \)
• и) \( f(x) = x^3 \cdot \mathrm{tg}(\cos x) \)
  Используем правило произведения:
  \( u = x^3 \implies u' = 3x^2 \)
  \( v = \mathrm{tg}(\cos x) \implies v' = \sec^2(\cos x) \cdot \frac{d}{dx}(\cos x) \)
  \( v' = \sec^2(\cos x) \cdot (-\sin x) \)
  \( f'(x) = 3x^2 \mathrm{tg}(\cos x) + x^3 \cdot \sec^2(\cos x) \cdot (-\sin x) \)
  \( f'(x) = 3x^2 \mathrm{tg}(\cos x) - x^3 \sin x \sec^2(\cos x) \)

Ответ: результаты вычислений приведены для каждого подпункта.