6. Найти наибольшее, наименьшее значение функции на промежутке \( f(x) = \ln x \), \( x \in [1; e] \).

Решение:

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном промежутке, найдем производную функции и определим критические точки.

Функция: \( f(x) = \ln x \).

Производная функции: \( f'(x) = \frac{1}{x} \).

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\[ \frac{1}{x} = 0 \]

Это уравнение не имеет решений, так как \( \frac{1}{x} \) никогда не равно нулю.

Теперь вычислим значения функции на концах промежутка \( [1; e] \):

• При \( x = 1 \): \( f(1) = \ln(1) = 0 \).
• При \( x = e \): \( f(e) = \ln(e) = 1 \).

Так как производная \( f'(x) = \frac{1}{x} \) положительна на всём промежутке \( [1; e] \) (поскольку \( x > 0 \)), функция \( f(x) = \ln x \) является возрастающей на этом промежутке.

Следовательно, наименьшее значение достигается в левой границе промежутка, а наибольшее — в правой.

Наименьшее значение функции: \( 0 \) (в точке \( x = 1 \)).

Наибольшее значение функции: \( 1 \) (в точке \( x = e \)).

Ответ: Наибольшее значение функции равно 1, наименьшее значение равно 0.