1. Вычислите предел x→7 lim (x² - 49) / (x² - 5x - 14)

Решение:

При \( x \to 7 \) числитель \( x^2 - 49 \) стремится к \( 7^2 - 49 = 0 \), а знаменатель \( x^2 - 5x - 14 \) стремится к \( 7^2 - 5 \cdot 7 - 14 = 49 - 35 - 14 = 0 \). Это неопределённость вида \( \frac{0}{0} \).

Разложим числитель и знаменатель на множители:

• Числитель: \( x^2 - 49 = (x - 7)(x + 7) \)
• Знаменатель: \( x^2 - 5x - 14 \). Для нахождения корней решим уравнение \( x^2 - 5x - 14 = 0 \). Дискриминант \( D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81 \). Корни: \( x_1 = \frac{5 + \sqrt{81}}{2} = \frac{5 + 9}{2} = 7 \) и \( x_2 = \frac{5 - 9}{2} = -2 \). Значит, \( x^2 - 5x - 14 = (x - 7)(x + 2) \).

Теперь подставим разложенные множители в предел:

\[ \lim_{x \to 7} \frac{(x - 7)(x + 7)}{(x - 7)(x + 2)} \]

Сократим \( (x - 7) \), так как \( x \neq 7 \):

\[ \lim_{x \to 7} \frac{x + 7}{x + 2} \]

Теперь подставим \( x = 7 \):

\[ \frac{7 + 7}{7 + 2} = \frac{14}{9} \]

Ответ: \( \frac{14}{9} \).