10. (1 балл) Найдите наименьшее значение функции на заданном интервале $$ y = x\sqrt{x} - 15x + 22, \quad [100; 1] $$

Решение:

Интервал задан в обратном порядке. Правильно будет \( [1; 100] \).

Найдем производную функции:

\[ y' = \frac{d}{dx}(x\sqrt{x} - 15x + 22) = \frac{d}{dx}(x^{3/2} - 15x + 22) \]

\[ y' = \frac{3}{2}x^{1/2} - 15 \]

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\[ \frac{3}{2}\sqrt{x} - 15 = 0 \]

\[ \frac{3}{2}\sqrt{x} = 15 \]

\[ \sqrt{x} = 15 \cdot \frac{2}{3} = 10 \]

\[ x = 10^2 = 100 \]

Теперь вычислим значения функции на концах интервала и в критической точке:

• \( y(1) = 1\sqrt{1} - 15(1) + 22 = 1 - 15 + 22 = 8 \)
• \( y(100) = 100\sqrt{100} - 15(100) + 22 = 100 \cdot 10 - 1500 + 22 = 1000 - 1500 + 22 = -478 \)

Сравнивая значения, видим, что наименьшее значение равно -478.

Ответ: -478