9. (1 балл) Найдите корень уравнения. Если уравнение имеет более одного корня, укажите в ответ больший из них $$ \sqrt{15 + 2x} = x $$

Решение:

Возведем обе части уравнения в квадрат:

\[ 15 + 2x = x^2 \]

Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ x^2 - 2x - 15 = 0 \]

Найдем корни квадратного уравнения через дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(1)(-15) = 4 + 60 = 64 \]

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 8}{2} = 5 \]

\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 8}{2} = -3 \]

Проверим корни в исходном уравнении:

Для \( x = 5 \): \( \sqrt{15 + 2(5)} = \sqrt{15+10} = \sqrt{25} = 5 \). \( 5 = 5 \). Корень подходит.

Для \( x = -3 \): \( \sqrt{15 + 2(-3)} = \sqrt{15-6} = \sqrt{9} = 3 \). \( 3 \neq -3 \). Корень не подходит, так как \( x \) должно быть неотрицательным, потому что оно равно квадратному корню.

Ответ: 5