10.45. Из пунктов А и В, расстояние между которыми 28 км, одновременно отправляются два автомобиля и идут навстречу друг другу. Автомобиль, вышедший из А, приходит в В через 16 мин после встречи, а другой автомобиль приходит в А через 9 мин после встречи. Найдите скорость каждого автомобиля.

Решение:

Пусть \( v_1 \) — скорость автомобиля, вышедшего из А, а \( v_2 \) — скорость автомобиля, вышедшего из В. Пусть \( t \) — время от начала движения до встречи. Расстояние между пунктами А и В равно \( S = 28 \) км.

Расстояние, пройденное первым автомобилем до встречи: \( S_1 = v_1 t \).

Расстояние, пройденное вторым автомобилем до встречи: \( S_2 = v_2 t \).

Так как автомобили движутся навстречу друг другу, то \( S_1 + S_2 = S \), следовательно, \( (v_1 + v_2) t = 28 \).

После встречи первый автомобиль доходит до В за \( t_1 = 16 \) минут, а второй — до А за \( t_2 = 9 \) минут. Время \( t_1 \) и \( t_2 \) переведем в часы: \( t_1 = \frac{16}{60} = \frac{4}{15} \) ч, \( t_2 = \frac{9}{60} = \frac{3}{20} \) ч.

Расстояние, которое прошел первый автомобиль после встречи: \( S_2 = v_1 t_1 \), то есть \( v_2 t = v_1 \frac{4}{15} \).

Расстояние, которое прошел второй автомобиль после встречи: \( S_1 = v_2 t_2 \), то есть \( v_1 t = v_2 \frac{3}{20} \).

Разделим первое уравнение на второе:

\( \frac{v_2 t}{v_1 t} = \frac{v_1 \frac{4}{15}}{v_2 \frac{3}{20}} \) \( \frac{v_2}{v_1} = \frac{4 t t t t t 20}{15 t t t t t 3} = \frac{80}{45} = \frac{16}{9} \)

Отсюда \( v_2 = \frac{16}{9} v_1 \).

Подставим это во время до встречи \( (v_1 + v_2) t = 28 \):

\( (v_1 + \frac{16}{9} v_1) t = 28 \) \( (\frac{9v_1 + 16v_1}{9}) t = 28 \) \( \frac{25}{9} v_1 t = 28 \).

Теперь выразим \( v_1 t \) из \( v_1 t = v_2 \frac{3}{20} \). Так как \( v_2 = \frac{16}{9} v_1 \), то \( v_1 t = \frac{16}{9} v_1 \frac{3}{20} = \frac{16 t t t 3}{9 t t t 20} v_1 = \frac{48}{180} v_1 = \frac{4}{15} v_1 \). Это не верно, надо использовать другое соотношение.

Введём \( t_{встр} \) — время до встречи. Тогда \( S = (v_1 + v_2) t_{встр} \).

После встречи: \( v_1 t_1 = S_2 \) и \( v_2 t_2 = S_1 \).

\( S_1 = v_1 t_{встр} \) и \( S_2 = v_2 t_{встр} \).

Тогда \( v_1 t_1 = v_2 t_{встр} \) и \( v_2 t_2 = v_1 t_{встр} \).

Разделим эти уравнения: \( \frac{v_1 t_1}{v_2 t_2} = \frac{v_2 t_{встр}}{v_1 t_{встр}} = \frac{v_2}{v_1} \).

\( \frac{v_1}{v_2} = \frac{t_2}{t_1} \).

\( v_1 = v_2 \frac{t_2}{t_1} = v_2 \frac{9 \text{ мин}}{16 \text{ мин}} = \frac{9}{16} v_2 \).

Теперь подставим в \( (v_1 + v_2) t_{встр} = 28 \). Нам нужно \( v_1 \) и \( v_2 \).

У нас есть \( v_1 t_{встр} = v_2 t_2 \) и \( v_2 t_{встр} = v_1 t_1 \).

Умножим эти два уравнения: \( (v_1 t_{встр})(v_2 t_{встр}) = (v_2 t_2)(v_1 t_1) \).

\( v_1 v_2 t_{встр}^2 = v_1 v_2 t_1 t_2 \) \( t_{встр}^2 = t_1 t_2 \).

\( t_{встр} = surt{t_1 t_2} = surt{16 \text{ мин} t t 9 \text{ мин}} = surt{144} \text{ мин} = 12 \) мин.

\( t_{встр} = 12 \) мин \( = \frac{12}{60} = \frac{1}{5} \) ч.

Теперь найдём скорости:

\( v_1 + v_2 = \frac{S}{t_{встр}} = \frac{28 \text{ км}}{\frac{1}{5} \text{ ч}} = 140 \) км/ч.

Мы знаем, что \( v_1 = \frac{9}{16} v_2 \).

\( \frac{9}{16} v_2 + v_2 = 140 \) \( (\frac{9+16}{16}) v_2 = 140 \) \( \frac{25}{16} v_2 = 140 \) \( v_2 = 140 t t \frac{16}{25} = \frac{28 t t 16}{5} = \frac{448}{5} = 89.6 \) км/ч.

\( v_1 = \frac{9}{16} v_2 = \frac{9}{16} t t 89.6 = 9 t t 5.6 = 50.4 \) км/ч.

Проверка: \( v_1 + v_2 = 50.4 + 89.6 = 140 \) км/ч. Верно.

Скорость первого автомобиля (вышедшего из А) \( v_1 = 50.4 \) км/ч.

Скорость второго автомобиля (вышедшего из В) \( v_2 = 89.6 \) км/ч.

Ответ: Скорость одного автомобиля 50,4 км/ч, скорость другого — 89,6 км/ч.