10.47. Расстояние от города А до города В автобус проходит по расписанию со скоростью 40 км/ч. Из-за ремонта шоссе первую половину пути автобус прошел с опозданием на 20 мин. Чтобы прибыть в В по расписанию, оставшуюся часть пути автобус шел со скоростью 45 км/ч. Найдите расстояние от А до В.

Решение:

Пусть \( S \) — расстояние от А до В. Расстояние первой половины пути \( S_1 = \frac{S}{2} \), расстояние второй половины пути \( S_2 = \frac{S}{2} \).

Плановое время в пути: \( T_{план} = \frac{S}{40} \) ч.

Время, запланированное на первую половину пути: \( T_{1план} = \frac{S_1}{40} = \frac{S/2}{40} = \frac{S}{80} \) ч.

Время, запланированное на вторую половину пути: \( T_{2план} = \frac{S_2}{40} = \frac{S/2}{40} = \frac{S}{80} \) ч.

Автобус прошел первую половину пути с опозданием на 20 мин. Это значит, что время, затраченное на первую половину пути, \( T_1 \) равно \( T_{1план} + 20 \) мин. Переведем 20 минут в часы: \( 20 \text{ мин} = \frac{20}{60} = \frac{1}{3} \) ч.

\( T_1 = \frac{S}{80} + \frac{1}{3} \) ч.

Чтобы прибыть в В по расписанию, оставшуюся часть пути (вторую половину) автобус прошел со скоростью \( v_2 = 45 \) км/ч. Время, затраченное на вторую половину пути: \( T_2 = \frac{S_2}{v_2} = \frac{S/2}{45} = \frac{S}{90} \) ч.

Общее фактическое время в пути: \( T_{факт} = T_1 + T_2 = (\frac{S}{80} + \frac{1}{3}) + \frac{S}{90} \).

Так как автобус прибыл в В по расписанию, то \( T_{факт} = T_{план} \).

\( \frac{S}{80} + \frac{1}{3} + \frac{S}{90} = \frac{S}{40} \).

Приведем к общему знаменателю. Общий знаменатель для 80, 3, 90, 40. Наименьшее общее кратное: 80 = 2^4 t 5, 3 = 3, 90 = 2 t 3^2 t 5, 40 = 2^3 t 5. НОК = 2^4 t 3^2 t 5 = 16 t 9 t 5 = 720.

Умножим все члены уравнения на 720:

\( 720 t \frac{S}{80} + 720 t \frac{1}{3} + 720 t \frac{S}{90} = 720 t \frac{S}{40} \)

\( 9S + 240 + 8S = 18S \)

\( 17S + 240 = 18S \)

\( 240 = 18S - 17S \)

\( S = 240 \) км.

Ответ: Расстояние от А до В равно 240 км.