10. Дан параллелограмм $ABCD$. На стороне $BC$ взята точка $K$, такая, что $AK$ — биссектриса угла $A$, а $DK$ — биссектриса угла $D$ параллелограмма. Найдите площадь параллелограмма, если $AK=8$ см, $DK=6$ см.

Question

Вопрос: $Фото задания: 10. Дан параллелограмм $ABCD$. На стороне $BC$ взята точка $K$, такая, что $AK$ — биссектриса угла $A$, а $DK$…$ Фото задания

10. Дан параллелограмм $ABCD$. На стороне $BC$ взята точка $K$, такая, что $AK$ — биссектриса угла $A$, а $DK$ — биссектриса угла $D$ параллелограмма. Найдите площадь параллелограмма, если $AK=8$ см, $DK=6$ см.

Accepted Answer

Обозначим $AB=u$, $AD=v$. Поскольку $BC\parallel AD$, из условия, что $AK$ — биссектриса угла $A$, следует $BK=AB=u$: в треугольнике $ABK$ углы при $A$ и $K$ равны, поэтому противоположные им стороны равны.

Так как $BC=AD=v$, получаем $CK=v-u$. Биссектриса угла $D$, пересекая $BC$ в точке $K$, даёт $CK=CD=AB=u$: в треугольнике $DCK$ равны углы при $D$ и $K$, поскольку $DK$ делит угол $D$ пополам и $CK\parallel AD$. Следовательно, $v-u=u$, то есть $v=2u$.

Пусть $\theta=\angle DAB$. Тогда, поскольку $BK=u$ и $AD=2u$, векторы от $A$ к $K$ и от $D$ к $K$ имеют вид $\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AB}+ frac12\overrightarrow{AD}$ и $\overrightarrow{DK}=\overrightarrow{AB}- frac12\overrightarrow{AD}$.

Сложив квадраты длин, получаем $AK^2+DK^2=2u^2+ frac12(2u)^2=4u^2$. Поэтому $8^2+6^2=4u^2$, откуда $u=5$ см и $v=10$ см.

Вычитая квадраты длин, получаем $AK^2-DK^2=2\overrightarrow{AB}\cdot frac12\overrightarrow{AD}=2uv\cos\theta$. Значит, $64-36=2uv\cos\theta$, откуда $uv\cos\theta=14$.

Площадь параллелограмма равна $uv\sin\theta$. Поэтому

$S^2=(uv)^2-(uv\cos\theta)^2=(5\cdot10)^2-14^2=2304$,

откуда $S=48\text{ см}^2$.

Ответ: 48 см².