10. Дан равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC. Докажите, что высота, опущенная из вершины B на основание AC, является осью симметрии этого треугольника.

Обозначим основание высоты через H. Тогда BH ⟂ AC.

1. Рассмотрим прямоугольные треугольники ABH и CBH. Их гипотенузы равны: AB = BC; катет BH — общий.
2. По гипотенузе и катету треугольники равны. Следовательно, AH = HC, а точки A и C симметричны относительно BH.
3. Точки B и H лежат на BH и при отражении остаются на месте.

Значит, отражение относительно BH переводит треугольник ABC в себя, поэтому BH — его ось симметрии.