10. Дано: Треугольник ABC, угол A = 30 градусов. Высота BM = 7. AM = 14. Найти: AB.

Решение:

1. Рассмотрим треугольник ABM: Этот треугольник прямоугольный, так как BM — высота (угол AMB = 90 градусов).
2. Данные: Нам известны катеты AM = 14 и BM = 7.
3. Теорема Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы (AB) равен сумме квадратов катетов (AM и BM).
4. Вычисление:\[ AB^2 = AM^2 + BM^2 \] \[ AB^2 = 14^2 + 7^2 \] \[ AB^2 = 196 + 49 \] \[ AB^2 = 245 \]
5. Нахождение AB:\[ AB = \sqrt{245} = \sqrt{49 \times 5} = 7\sqrt{5} \]

Примечание: Угол A = 30 градусов в данном случае является избыточной информацией, так как для нахождения AB достаточно было знать катеты AM и BM.

Ответ: $$7\sqrt{5}$$